概率论与数理统计总结报告 第1篇
【关键词】小学数学；概率学习；认知心理特征；教学对策
一、小学生概率学习的主要内容
小学数学是基础教育课程的重要组成部分，具有基础性、普及性以及发展性，是在特定目标、计划制约下的数学学科及数学学习活动。小学数学课程内容可以分为四大板块：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。在统计与概率的领域中，概率的学习是至关重要的。学习的两大主块：一是学习它的定义，即了解发生的随机事件可能性的大小；二是学习概率的定性描述，主要是基于从生活实践中去主动体验事件发生的可能性，包括一些简单事件发生的可能性。小学高年级阶段概率学习是在了解和体验数据随机性的基础上，近一步引导学生学习可能性，进而激发学生对数据的兴趣。
二、学生认知心理特征分析
小学生的认知心理发展过程具有一定的接受顺序，都是由浅入深、经历各种不同的阶段，最终在已有的知识水平上逐步渐进。依据Piaget&Inhelder的研究，在儿童的认知结构发展阶段，小学数学阶段对应的概率学习是这样的：
1. 7～8岁以前的小学低年级学生正处于前运算阶段，没办法区分因果事件以及随机事件。
2. 7～12岁以前的小学中年级以及部分高年级学生正处于具体运算阶段，可以区分确定与不确定。
3. 12岁后的小学高年级学生正处于形式运算阶段，可以将演绎、逻辑与随机概念统合起来。
“小学生的认知活动往往要经历从实物操作到表象操作再到符号操作的过程，只让学生在大脑中思考，往往会出现偏差，甚至出现错误”。依据这个阶段的学生认知水平，学习概率不能以直接概念、较难的专业术语进行。因此，可以通过非正式的术语，结合具体的生活情境去介绍概率思想、定义以及趣味计算，可直接使用可能性去代表概率，从而避免抽象的、正式的术语。在循序渐进的过程中，让学生真正认识事件的随机性，像是确定性、不确定性，从而引入概率。在学习这部分内容时，学生可以自主运用生活中的常识语言来进行表述，如经常、可能、偶尔、不可能以及一定来进行描述日常生活事件。教师可以结合已有经验，布置适当的练习，提高学生对概率的巩固认识，提炼学生的反应程度，从而达到教学目标。
加强学生自主体验学习概率主题，合适的概率主题选取必须是与学生自身密切联系的生活事件，学生选择的调查范围可以是容易实施的同一班级。在进行采取调查事件的过程中应注意两个要点：首先，要自我定制调查过程的全计划，包括在调查前，应该以小组为单位，设计一个调查表，再进行调查；其次，设计调查事件的活动应与学生自身对结果的预测相结合。学生判断某一事物是否准确与其掌握的数据有密切关系，对学生预测能力的提高起着决定性的作用。为了达到提高学生预测能力的目的，教师在教学中要设计与学生生活实际相关的统计活动，先替学生进行预测，这样学生才会顺利地进行预测，最终对结果进行描述。
三、教学案例实用
在进行课堂概率教学时，首先开展抛硬币的试验。通过2名学生一起做抛硬币的试验，抛的次数为8次。记录结果显示，连续抛了4次硬币都是正面朝上。
教师：“再抛一次硬币，结果会是怎样？”
学生1：“第5次一定是反面朝上，因为正面和反面朝上的次数应该是一样的，概率是一样的。前4次都是正面朝上，那么第五次硬币反面朝上的机会大。”
学生2：“抛硬币的前4次都没有出现反面朝上的情况，那么第5次也不会出现硬币反面朝上的情况。”
教师：“这两名学生的解释正确吗？若不正确，那结果会是什么呢？”
让同学再抛第5次硬币，结果显示的是正面朝上。教师作出解释，不肯定前两位同学的答案，而是继续完成最后3次的试验，对结果进行统计，如下表：
学生总结，正反面的次数不一样，同学1和同学2的答案。学生归纳，教师引出学习概率，让学生从硬币试验体会事件发生的可能性，上升到概率的发生性，充分体验概率的概念的抽象学习，最终帮助学生理解以及促进概率意义的掌握。在教学案例的实际应用中，教师结合之前学生认知心理特征分析，明确学生的认知水平，总结了概率教学应遵循以下几点：
1. 生活实际
概率的教学是从学生的日常生活事件或者物体开始的，它的研究对象可以是蔬菜、水果、动物、时间和日期，或者是数据之间的比较，如黄瓜、茄子的价格变化。
2. 全程且长期
在了解事件发生全过程的基础上抽取概念教学。像是世界上的一些海拔较高的高峰，某一个城市的气温变化，某一个学校的学生的身高，在这些过程中去领悟和体验概率的表述，培养体验随机性，进而以随机来理解这个世界。
3. 择趣
在学生学习概率时，概率教学切不可枯燥乏味，教师应当利用游戏式教学进行学生的概率教学；用趣味性的比赛或游戏让学生去搜集数据的信息，体悟事件发生的可能性；在学生的有效的课堂组织活动中，加深学生对事件概率的认识以及随机性的把握。概率教学要与学生的日常生活相联系，便于对数据进行解释和描述。
概率学习是统计与概率中小学数学学习阶段的重要部分，学好概率有利于以后初中阶段统计与概率的了解学习，体会更深层次的抽样的必要性，用样本估计总体的思想，进一步体验概率的深层意义，最后再进行计算。
参考文献：
[1] 刘宝娥，刘合香.小学数学“统计与概率”的教学思考[J].基础教育研究，2006，（11）：30.
[2] 闫炳霞.小学数学“统计与概率”的教学中的问题研究[D].重庆：西南大学，2007.
[3] 杜丽娜.小学数学“统计与概率”的教学策略研究[J].教学，2011，（10）：40.
[4] 王国强.小学数学统计与概率的教学思考[J].教苑撷英，2012.
[5] 金成梁，刘久成.小学数学课程与教学[M].南京：南京大学出版社，2013.
概率论与数理统计总结报告 第2篇
1、设是来自正态总体的一组样本，分别是样本均值和样本方差，则
（1）或
（2）
（3）与相互独立
（4）
2、设是来自正态总体的一组样本，是来自正态总体的一组样本，及分别表示两组样本的样本均值和样本方差，假定两组样本相互独立，则
（1）
（2）当时，
其中
（3）当m=n时，
其中
概率论与数理统计总结报告 第3篇
对综合型本科院校如何进行概率论与数理统计教学以提高学生的学习兴趣与动力，以培养综合型，高水平人才进行探索研究，提出应改变“老师讲，学生听”的传统教学方法，建议在教学中以概率统计的发展史，教学案例，数学建模为切入点，引导学生主动思考，化被动为主动，从而达到提高教学质量，提高学生学习兴趣．
【关键词】
概率论与数理统计;新型教学;现代科技
概率论与数理统计是应用广泛的一门基础学科，不仅是高等院校数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、统计学专业的一门专业学科，对理工、经济、金融、管理甚至是社会学的各门学科的学习和研究都有重要的工具支持作用．因此，我国大多数本科院校将这门课程定为这些学科的基础课程．我们要将这门课程以丰富的背景、巧妙的思维和有趣的结论吸引学生，使其在浓厚的兴趣中学习和掌握概率论与数理统计的基本概念、基本方法和基本理论．我们很难一开始就把学生引入数学天堂，而是应该在“野外”先浏览概率统计的各种风景之后，再进入数学天堂，使各种概念和定理成为有源之水、有本之木．教师应该根据概率论与数理统计的课程特点，进行新型教学模式，培养学生独立思考，互相探讨，将知识真正为己所有，从而培养出基础扎实、知识面宽、素质高的高级专门人才．
一、转换教学观念
在当今大学本科院校大部分教师在课堂设计上依然延续着传统的教学方法“老师讲，学生听”．许多老师虽然在不断的探索着如何将枯燥，抽象的数学理论通过相关史料、实际问题、图形图表、数学模型等方法在不影响课程体系完整的情况下，适当地降低部分概率论与数理统计理论性的难度，从而直观地，趣味性和易于理解的角度引人入胜，活泼生动的传授给学生．这种做法很大程度上激发了部分学生的学习兴趣，能极大地提高学生的学习效率．但这种以教师讲为主，学生被动接受的教学方法，并不能将所有的学生积极性都调动起来，不能完全避免课堂上的睡觉、闲聊、看手机等与课堂无关的行为存在．并且会出现听老师讲时感觉良好，但自己做就步步维艰以及“学过即忘，考过即丢”的普遍现象．如何改变这种现象，使每名学生个体都能够积极主动的参与研究，探讨当中，化被动为主动，从“要我学”变成“我要学”这种正确的学习观．在这里我们就结合概率论与数理统计这门课程的学科特点，提出一些新型教学模式意见．
二、转换教学方法
随着科技的不断进步，当下手机，ipad，笔记本电脑已经成为我们日常生活中不可或缺的一部分，如影随形，学生们也会将其带入课堂，这是许多老师很头疼的问题，为了避免学生在课堂上玩手机，老师们想出来很多办法去制止，但效果并不明显．那我们为何不转换教学方法“避其害，而扬其利”呢?网络上的强大信息量，资源的共享可为我们所用．当今的大学生都是90后，他们生活在网络的时代，不同于他们的父辈，他们有新的了解世界的窗口，同时也应该有新的学习知识的途径，所以高校教师应该善于利用现在大学生喜闻乐见的方式去引导其上网，概率论与数理统计中的部分知识可以通过查阅其知识背景，定义，定理，应用，让学生互相讨论，提出自己的理解想法，不断深入研究，弄清知识的最本源．这里，以全概率公式和贝叶斯公式为例，结合多媒体教学，给出动态图像三个箱子，1号箱子中装有1个红球4个黄球，2号箱子中装有2个红球3个黄球，3号箱子中装有3个红球，从中任意摸取一球，求取得红球的概率．将学生分成若干组，进行讨论，可利用手机上网查询:若要取得红球有几种方法?取得红球这一事件可以转化成哪几个事件?它们之间的相互关系如何?在运算过程中用到了前面的那些知识?总结出全概率公式．通过此例思考全概率公式的成立条件，以及全概率公式的基本思想．要建立起好的答题机制，按学生回答问题的数量及质量给予相应的平时分数，加入到期末成绩当中．教师应在此过程中起到引导，解疑，将学生的回答进行归纳总结作用，当学生完全理解全概率公式的本质后，给出相应例题，让学生巩固熟练全概率公式的运用能力，由于全概率公式可形象的描述为由原因来推结果，进而提出问题，有没有公式是由结果来推原因的呢?激发学生探索欲望，从而引出贝叶斯公式的研究与讨论．在此过程中不仅将上网游戏转化成了查阅资料，提高了学生在网上学习的能力，还将闲聊变成了对新知识的探讨，使现代科技与当今课堂有着完美结合．
三、转换考试机制
考试是对学生学习成果的一种检测，学生有时会很盲目的复习所学的全部知识，容易造成顾此失彼，我们可以尝试让学生参与出题，教师将好的题目以一定的比例加入到考试题目当中，这种做法可以促进学生动脑思考，站在教师的角度上看问题，这样可以更加清晰的分清题目类型，知识重点，哪种问题包含多少个知识点，像全概率公式，它是概率与数理统计课程中的重要公式，对它的考察，我们不仅是要记住公式那么简单，其中包括如何对样本空间进行合理划分、概率的加法、乘法公式以及互不相容概念，在出题过程中让学生主动的理解和消化知识内部间所存在的联系，在加深知识的同时还能更有效的进行复习．在有限的学时里，我们不可能把所有的概率与统计方法都教给学生，授人以鱼不如授人以渔，要让学生掌握概率论与数理统计基础知识及基本的统计分析方法，并教会他们如何思考这方面问题的能力，如何通过网络的信息资源进行再学习，进而提高他们的应用，应变能力．
【参考文献】
［1］峁诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程(第二版)［M］．北京:高等教育出版社．2010．
［2］原保全，王勇．概率统计课程建设与教学改革［J］．工科数学，1999，15(3):117－119．
概率论与数理统计总结报告 第4篇
1、在实际生活中，我们对总体的分布往往不甚了解，为此需要进行数据整理，以便获取有关总体分布类型的信息。数据的整理主要有列表、作图等方法。
2、如果总体X是离散型随机变量，它的所有可能取值为(也可以为可列个)。假定样本的n个观测值为。记表示中取值为的个数，称为频数，为频率，为累积频率。将它们列成一张表，分别称为频数、频率和累积频率分布表。
根据大数定理知，随着样本容量的增大，频率分布将趋于总体X的概率分布，而累积频率将趋于总体X的分布函数。
3、如果总体X是连续型随机变量函数，其所有可能取值是某一区间，这时可以将总体X的取值范围分成k个小区间，然后统计样本观测值落在每一小区间中的频数，并计算其频率和累积频率。
具体步骤为：
（1）找出的最小值与最大值，并计算极差
（2）根据样本容量n确定分组数k。一般n越大，组数k取的越大。但k不宜过大或过小。
（3）确定各组端点。通常。在某些情况下，可取。分组可分等组距与不等组距两种，一般取等组距分组，组距
（4）统计落在每一区间中的频数，并计算频率及累积频率
当总体X是连续型随机变量时，若将频率直方图的纵坐标刻度变为频率/组距，这样每一小矩形的面积即为样本观测值落在该区间的频率，所有小矩形面积之和为1。随着样本容量n越来越大，分组越来越多，此时组距将越来越小，变化刻度后的频率直方图顶部折线将趋于总体X的密度函数曲线，而累积频率直方图顶部折线将趋于总体X的分布函数曲线。
4、设总体X的分布函数为(未知)，其样本观测值为，将它们从小到大排列成。设其中互不相同的共个，分别为，其个数分别为令
则称为该样本的经验分布函数。
经验分布函数完全由样本观测值确定，它具有分布函数的性质。对于固定的x，表示事件在n次独立试验中出现的概率。由大数定律可知，在满足一定条件下，事件发生的频率依概率收敛于这个事件发生的概率。当试验次数n增大时，样本的经验分布函数会接近于总体的分布函数。
5、格利文科定理：设总体的分布函数为，经验分布函数为，对于任何实数x，记
则有
格利文科定理证明了统计量以概率为1地收敛于0。通俗地说，就是当n足够大时，对于所有x值，与之差的绝对值都很小这个事件发生的概率接近于1。
概率论与数理统计总结报告 第5篇
设（X，Y）是二维离散型随机变量，对于固定的j，若 P { Y = y j } > 0 \ P\{Y=y_j\}>0 P{Y=yj}>0，则称 P { X = x i ∣ Y = y i } = P { X = x i , Y = y j } P { Y = y j } = p i j p . j , i = 1 , 2 , . . . \ P\{X=x_i|Y=y_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j \}}{P\{Y=y_j\}}=\frac{p_{ij}}{p_{.j}}, i=1,2,... P{X=xi∣Y=yi}=P{Y=yj}P{X=xi,Y=yj}=p.jpij,i=1,2,... 为在 Y = y i \ Y=y_i Y=yi条件下随机变量X的条件分布律，对另一个变量亦然 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y的边缘概率密度为 f Y ( y ) \ f_Y(y) fY(y)，若对于固定的y， f Y ( y ) > 0 \ f_Y(y)>0 fY(y)>0，则称 f ( x , y ) f Y ( y ) \ \frac{f(x,y)}{f_Y(y)} fY(y)f(x,y)为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为 f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) \ f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} fX∣Y(x∣y)=fY(y)f(x,y) 称 ∫ − ∞ x f X ∣ Y ( x ∣ y ) d x \ \int_{-\infty}^xf_{X|Y}(x|y)dx ∫−∞xfX∣Y(x∣y)dx为Y=y条件下X的条件分布函数，记为 P { X ≤ x ∣ Y = y } \ P\{X\leq x|Y=y\} P{X≤x∣Y=y}或 F X ∣ Y ( x ∣ y ) \ F_{X|Y}(x|y) FX∣Y(x∣y)，对另一个变量亦然
设F(x,y)及 F X ( x ) , F Y ( y ) \ F_X(x), F_Y(y) FX(x),FY(y)分别是二维随机变量（X，Y）的分布函数及边缘分布函数，若对于所有的x，y有： P { X ≤ x , Y ≤ y } = P { X ≤ x } P { Y ≤ y } \ P\{X\leq x, Y\leq y\}=P\{X\leq x\}P\{Y\leq y\} P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y} 即 F ( x , y ) = F X ( x ) F Y ( y ) \ F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称随机变量X，Y是相互独立的 对于概率密度和边缘概率密度，等式 f ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) \ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) f(x,y)=fX(x)fY(y) 在平面上除去“面积”为零的集合以外，处处成立
设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y) ,则Z=X+Y仍为连续型随机变量，其概率密度为 f X + Y ( z ) = ∫ − ∞ ∞ f ( z − y , y ) d y \ f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^\infty f(z-y,y)dy fX+Y(z)=∫−∞∞f(z−y,y)dy f X + Y ( z ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x , z − x ) d y \ f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^\infty f(x,z-x)dy fX+Y(z)=∫−∞∞f(x,z−x)dy 又若X和Y相互独立，设(X,Y)关于X，Y的边缘密度分别为 f X ( x ) , f Y ( y ) \ f_X(x), f_Y(y) fX(x),fY(y)，则 f X + Y ( z ) = ∫ − ∞ ∞ f X ( z − y ) f Y ( y ) d y \ f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^\infty f_X(z-y)f_Y(y)dy fX+Y(z)=∫−∞∞fX(z−y)fY(y)dy f X + Y ( z ) = ∫ − ∞ ∞ f X ( x ) f Y ( z − x ) d x \ f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)dx fX+Y(z)=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dx 这两个公式称为 f X 和 f Y \ f_X 和 f_Y fX和fY的卷积公式，记为 f X ∗ f Y \ f_X*f_Y fX∗fY，即 f X ∗ f Y = f X + Y ( z ) = ∫ − ∞ ∞ f X ( z − y ) f Y ( y ) d y = ∫ − ∞ ∞ f X ( x ) f Y ( z − x ) d x \ f_X*f_Y=f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^\infty f_X(z-y)f_Y(y)dy=\int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)dx fX∗fY=fX+Y(z)=∫−∞∞fX(z−y)fY(y)dy=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dx 对于正态分布，可以证明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布
f Y / X ( z ) = ∫ − ∞ ∞ ∣ x ∣ f ( x , x z ) d x \ f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^\infty|x|f(x,xz)dx fY/X(z)=∫−∞∞∣x∣f(x,xz)dx f X Y ( z ) = ∫ − ∞ ∞ 1 ∣ x ∣ f ( x , z x ) d x \ f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})dx fXY(z)=∫−∞∞∣x∣1f(x,xz)dx 若X,Y相互独立： f Y / X ( z ) = ∫ − ∞ ∞ ∣ x ∣ f X ( x ) f Y ( x z ) d x \ f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^\infty|x|f_X(x)f_Y(xz)dx fY/X(z)=∫−∞∞∣x∣fX(x)fY(xz)dx f X Y ( z ) = ∫ − ∞ ∞ 1 ∣ x ∣ f X ( x ) f Y ( z x ) d x \ f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{|x|}f_X(x)f_Y(\frac{z}{x})dx fXY(z)=∫−∞∞∣x∣1fX(x)fY(xz)dx
F m a x ( z ) = F X ( z ) F Y ( z ) \ F_{max}(z)=F_X(z)F_Y(z) Fmax(z)=FX(z)FY(z) F m i n ( z ) = 1 − [ 1 − F X ( z ) ] [ 1 − F Y ( z ) ] \ F_{min}(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)] Fmin(z)=1−[1−FX(z)][1−FY(z)]
概率论与数理统计总结报告 第6篇
摘 要：概率论与数理统计这门课程一直以来教学方法单一、教学模式刻板，学生在学习时感觉有一定的难度，针对这一现状我们结合教学实践就教学内容、教学方法和手段等方面做了初步探索，重视加强学生分析问题、解决问题能力的培养。现在是信息时代，将QQ公众号和微信平台引入到《概率论与数理统计》的辅助教学及课后辅导答疑中来，多方位地培养学生对这门课程的学习兴趣，力求学生一旦有问题提出教师能在第一时间给出解答。
关键词：概率论与数理统计教学 教学方法 数学改革
概率论与数理统计是工科院校大学生必须学习的重要数学基础课之一，该课程不仅能训练逻辑思维能力，同时它的应用性比较强。作为教师应该与时俱进，不断地更新自己的教育理念和教学方法，能够利用有限的课堂时间将知识有效地传授给学生。我们就其他院校有关这门课程的教学改革结果做了深入、系统的研究，摒弃了以前传统的教学方法，探索利用大数据时代多媒体和网络的作用，逐步形成适合新时期人才培养的模式，该文就以下几个方面做了改进。
1 教学内容的改革
《概率论与数理统计》是高等工科院校数学基础课中应用性相对较强的一门课程，但是就这门学科本身而言理论性强，比较抽象，学生不好理解。工科学校主要是培养应用型人才，在教学内容上做了一些调整。
弱化理论，重视应用
概率论部分的理论证明主要重视逻辑的严谨，学生接受起来有一定的难度，在讲解时尽量用学生易于理解的语言将定理阐述清楚，把概率论作为数理统计的基础知识来介绍，这样处理有利于加强学生对定理证明的理解。数理统计部分的讲解侧重于引入一些经典的、与生活贴近的例子，比如：有关彩票中奖问题、库存与收益问题等，尽量多介绍日常工作中常常出现的有关数据分布的简单描述方法和思想、应用背景以及数理统计方法在实际应用中应该注意的问题，进而锻炼了学生应用数理统计的知识处理实际问题的能力。
以概率论为核心
概率论最早起源于赌桌，随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些物理和社会现象与此相似即偶然事件大量重复发生时都有一定的规律性，从而由赌博游戏起源的概率论被应用到更广泛的领域中。到了20世纪俄国科学家马尔科夫、柯尔莫哥洛夫等人给出了概率的测度论定义和一套严密的公理体系，这种公理化方法成为现代概率论的基础，使概率成为严谨的数学分支。数理统计是对带有随机性的数据及所观察的问题做出推断或预测，数理统计是以概率论为基础而发展起来的，伴随着对观测数据误差分析和最小二乘法的研究到19世纪这门学科已经开始形成。20世纪随着点估计理论、方差分析法、置信区间估计理论等的提出，直到克拉默在1940年发表了著作《统计学数学方法》，标志着统计学日臻完善。
纵观概率论与数理统计的发展历史可见这门课程的核心内容是事件的概率描述、随机变量概念及其分布理论以及运用函数的观点刻画、处理问题，当然传统的试验概率，如，古典概型、几何概型及后验概率分析对工科概率论也有着重要作用，它们在处理一些现实生活中、工程中的具体问题时提供了概率手段，起到了不可替代的作用。大数定律和中心极限定理揭示出了概率的本质，在满足一定条件下随机变量序列的算术平均值的收敛和极限分布，这些内容也是概率论与数理统计这门课程的核心思想，一直贯穿始终。在教学时，以概率论为核心重点讲解，数理统计的讲授是在学生掌握概率论的基本理论知识基础上，让学生认识到通过总体、简单随机样本、统计量等有关概率论知识处理统计中的参数估计、假设检验等问题，进而将这两部分知识有机的融合在一起。
2 教学方法和教学手段的改革
传统的教学主要是一支粉笔加一块黑板，基本上是教师在前面讲学生在下面一边听课一边记笔记，很容易导致注意力不集中，学习跟不上。部分学生学习目的不明确，为了期末考试能及格死记硬背定义、定理和例题，无从谈起运用所学的知识分析问题和解决实际问题。在概率论与数理统计的教学改革中，我们摒弃了课堂教学的单一模式，鼓励教师根据学生的具体情况采取灵活多样的教学方法，并将多媒体引用到课堂教学中来。
教学方法多样化
现在的学生和以前有所不同，尤其是自控力上，上课时注意力集中的时间不长，时不时就去看手机，这对教师的课堂教学是一个极大的挑战。我们在课堂上不仅仅运用讲授式教学法，还应积极采取更加多样的教法，比如：问题法、谈话法、读书指导法和讨论法等。数学课理论性强，一般都比较单调，针对不同的教学内容设计相应的教学教法，认为像古典盖型、条件概率、全概率公式和期望、方差等内容引入就很适合运用问题法，利用比较容易的题目引导学生解出答案，然后观察题目的特点总结一般规律；像分布律、分布函数及概率密度函数的性质等内容采用谈活法――一问一答的效果比较理想；对于比较简单的章节采用读书指导法，将需要掌握的内容以提纲的形式列在黑板上，引导学生自己看书找到相应的内容，这样有利于培养学生的自学能力。课堂上加强各种教学方法的综合运用，一方面有利于活跃课堂气氛；另一方面也有利于吸引学生的注意力，引导学生积极参与到课堂活动中来，激发学生的学习兴趣。
多媒体融入到教学中
现如今网络发达，是信息量很大的时代，还一味的采用黑板加粉笔的教学模式显然不合时宜，多媒体技术可以提供形象、直观的学习环境，它图文并茂、动静结合突破了粉笔书写的局限。教学过程中还可以根据内容需要引入课外知识，拓宽学生的知识面，增加学习兴趣。根据教学内容合理地运用多媒体，而不是依赖它，我们认为像定义、定理的证明这样重要的内容还是教师板书效果比较好，既能体现逻辑的严密性又能突出教学重点；像例题、定理的内容和归纳总结的部分利用多媒体演示，这样处理可以节省时间，教师可以在教学内容的讲解上投入更多的精力，做好重点、难点的讲授。
课堂教学是教师重要的阵地，课前做好充分准备，课上讲解重点突出，思路清晰，抓住学生的注意力，充分利用多种教学方法，有效利用信息时代的教学手段，潜移默化中培养学生分析问题、解决问题的能力，为学生的进一步学习或未来的工作夯实基础。
3 做好课后辅导答疑
与中学的教师不同的是大学教师上完课就不在教室，学生如果有问题想找教师很难找到，再者大学生的课程安排的也比较满，师生好像只有上课才能在一个教室里。针对这种情况，建议教师为学生建立一个QQ群或是微信群，以便学生有问题时能及时提出来，教师也方便了解学生的学习效果，一旦发现问题及时解决，避免学生因为上一节课的知识没理解好影响下一节课的学习。我们也进一步设想建立一个概率论与数理统计的公众QQ群，每星期安排教师值周，师生利用这个平台交流、互动，将发现的问题反馈给其他教师。
概率论与数理统计总结报告 第7篇
关键词：全概率公式；贝叶斯公式；临床诊断
引言
随机现象存在于我们日常生活的方方面面和科学技术的各个领域，概率论知识在生命科学和医学中有着广阔的应用天地.本文主要利用概率论中的全概率公式与贝叶斯公式，分析临床诊断上的相关问题.
一.全概率公式与贝叶斯公式在生物医学上的应用
（一）全概率公式与贝叶斯公式
在古典概率中.全概率公式及贝叶斯公式占有重要的地位，它能将复杂事件的概率通过简单事件的概率计算出来.全概率公式与贝叶斯公式是条件概率的两个基本公式.基于条件概率和概率的可加性，可以得到全概率公式和贝叶斯公式.
定理1（全概率公式）
设，（称为的一个剖分），，则对任
一事件A，有.
定理2（贝叶斯公式）
基于定理1条件，则对任一事件A（）有
（二）全概率公式与贝叶斯公式在临床鉴别诊断上的应用
疾病的诊断主要依据化验检查、症状、体征，但是有些疾病的症状、体征非常相似，该如何鉴别呢？医生往往凭直觉和经验，但经验还需理论的科学的评判.
一个52岁的家庭妇女，甲状腺肿已6年，近5个月有增大，咳嗽、气哽，但无吞咽困难，声音也不嘶哑，无烦躁，甲状腺部位无疼痛.经检查，甲状腺功能正常，腺体小而坚硬，结节性，易随吞咽动作而上下活动，锥体叶未触及，颈淋巴结无明显肿大，血沉52mm/hr，麝香草酚浊度单位，甲状腺24hr摄取率68%，（每升血浆）.BEI为，沉淀试验阴性.试诊断此病为（1）淋巴瘤性（2）单纯性（3）甲状腺癌中那一种甲状腺病.
解：设{淋巴瘤性甲状腺肿}，{单纯性甲状腺肿}，{甲状腺癌}，
记该病例的22个征候群则分别为，则鉴别的具体做法如下：
（1）制定征候群的条件概率统计表：用155个病例资料为标准，按三种进行征候群的统计，频率作为条件概率的估计.
（2）计算患者条件概率（B为患者症状）如果对每种甲状腺 来说，各个征候彼此独立，那么则有；由此可得：10-1；10-1.
（3）比较患者患各病的后验概率：假定三种甲状腺病互不相容，引用贝叶斯公式.其中为先验概率，可得：，，.显然 最大，故诊断该病人为淋巴瘤性甲状肿，手术结果也证实了这个诊断.
二.总结
在研究受随机影响的医学问题时，需要用全概率公式和贝叶斯公式研究数据有效的收集、整理、分析以及对生物医学问题做出的推测和预测.全概率公式与贝叶斯公式是统计学的基础，为基础医学、临床检验、临床医学等采取决策和行动提供了重要的依据及建议，以推进生物医学的发展，从而促进社会进步.
参考文献：
[1] 盛骤，谢式千.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2001.
[2]张仲，刘泗章.医药生物数学基础[M].北京：中国医药科技出版社，1992.
[3]刘定远，唐明春.医学数量分析[M].北京：中国协和医科大学出版社.1998.
概率论与数理统计总结报告 第8篇
设离散型随机变量X的分布律为 P { X = x k } = p k , k = 1 , 2 , . . . \ P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,... P{X=xk}=pk,k=1,2,... 若级数 ∑ k = 1 ∞ x k p k \ \sum_{k=1}^\infty x_kp_k k=1∑∞xkpk 绝对收敛，则称级数 ∑ k = 1 ∞ x k p k \ \sum_{k=1}^\infty x_kp_k k=1∑∞xkpk的和为随机变量X的数学期望，记为E(X) E ( X ) = ∑ k = 1 ∞ x k p k \ E(X)= \sum_{k=1}^\infty x_kp_k E(X)=k=1∑∞xkpk 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分 ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x \ \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx ∫−∞∞xf(x)dx 绝对收敛，则称积分 ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x \ \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx ∫−∞∞xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X) E ( x ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x \ E(x)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx E(x)=∫−∞∞xf(x)dx 定理 设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g是连续函数) 1.如果X是离散型随机变量，他的分布律为 P { X = x k } = p k , k = 1 , 2 , . . . \ P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,... P{X=xk}=pk,k=1,2,...，若 ∑ k = 1 ∞ g ( x k ) p k \ \sum_{k=1}^\infty g(x_k)p_k ∑k=1∞g(xk)pk收敛，则有 E ( Y ) = E [ g ( X ) ] = ∑ − ∞ ∞ g ( x k ) p k \ E(Y)=E[g(X)]=\sum_{-\infty}^\infty g(x_k)p_k E(Y)=E[g(X)]=−∞∑∞g(xk)pk 2.如果X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x),若 ∫ − ∞ ∞ g ( x ) f ( x ) d x \ \int_{-\infty}^\infty g(x)f(x)dx ∫−∞∞g(x)f(x)dx绝对收敛，则有 E ( Y ) = E [ g ( X ) ] = ∫ − ∞ ∞ g ( x ) f ( x ) d x \ E(Y)=E[g(X)]=\int_{-\infty}^\infty g(x)f(x)dx E(Y)=E[g(X)]=∫−∞∞g(x)f(x)dx
是常数，则 E ( C ) = C \ E(C)=C E(C)=C 是一个随机变量，C常数， E ( C X ) = C E ( X ) \ E(CX)=CE(X) E(CX)=CE(X) ，Y是两个随机变量， E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) \ E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(X+Y)=E(X)+E(Y) 4.设X，Y是相互独立的随机变量，则有 E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) \ E(XY)=E(X)E(Y) E(XY)=E(X)E(Y)
设X是一个随机变量，若 E { [ X − E ( X ) ] 2 } \ E\{[X-E(X)]^2\} E{[X−E(X)]2}存在，则称 E { [ X − E ( X ) ] 2 } \ E\{[X-E(X)]^2\} E{[X−E(X)]2}为X的方差，记为D(X)或Var(X),即 D ( X ) = V a r ( X ) = E { [ X − E ( X ) ] 2 } \ D(X)=Var(X)=E\{[X-E(X)]^2\} D(X)=Var(X)=E{[X−E(X)]2} 在应用上引入量 D ( X ) \ \sqrt{D(X)} D(X)，记为 σ ( X ) \ \sigma(X) σ(X)，称为标准差或均方差
对于离散型随机变量，有 D ( X ) = ∑ k = 1 ∞ [ x k − E ( X ) ] 2 p k \ D(X)=\sum_{k=1}^\infty [x_k-E(X)]^2p_k D(X)=k=1∑∞[xk−E(X)]2pk 对于连续型随机变量，有 D ( X ) = ∫ − ∞ ∞ [ x − E ( X ) ] 2 f ( x ) \ D(X)=\int_{-\infty}^\infty [x-E(X)]^2f(x) D(X)=∫−∞∞[x−E(X)]2f(x)
随机变量X的方差可按下式计算 D ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 \ D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 D(X)=E(X2)−[E(X)]2
是常数，则 D ( C ) = 0 \ D(C)=0 D(C)=0 是随机变量，C是常数，则 D ( C X ) = C 2 D ( X ) , D ( X + C ) = D ( X ) \ D(CX)=C^2D(X), D(X+C)=D(X) D(CX)=C2D(X),D(X+C)=D(X) 3.设X，Y是两个随机变量，则 D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) + 2 E { ( X − E ( X ) ) ( Y − E ( Y ) ) } \ D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E\{(X-E(X))(Y-E(Y))\} D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X−E(X))(Y−E(Y))} 上 式 第 三 项 = 2 { E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) } \ 上式第三项=2\{E(XY)-E(X)E(Y)\} 上式第三项=2{E(XY)−E(X)E(Y)} 特别地，若X，Y相互独立，则 D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) \ D(X+Y)=D(X)+D(Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y) (X)=0的充要条件是X以概率1取常数E(X),即 P { X = E ( X ) } = 1 \ P\{X=E(X)\}=1 P{X=E(X)}=1
设随机变量X具有数学期望 E ( X ) = μ \ E(X)=\mu E(X)=μ，方差 D ( X ) = σ 2 \ D(X)=\sigma^2 D(X)=σ2，则对于任意正数 ϵ \ \epsilon ϵ，不等式 P { ∣ X − μ ∣ ≥ ϵ } ≤ σ 2 ϵ 2 \ P\{|X-\mu|\ge \epsilon\}\leq \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} P{∣X−μ∣≥ϵ}≤ϵ2σ2
量 E { [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] } \ E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\} E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}称为随机变量X与Y的协方差，记为 C o v ( X , Y ) \ Cov(X,Y) Cov(X,Y),即 C o v ( X , Y ) = E { [ X − E ( X ) ] [ Y − E ( Y ) ] } \ Cov(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\} Cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]} 而 ρ X Y = C o v ( X , Y ) D ( X ) D ( Y ) \ \rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} ρXY=D(X)D(Y)Cov(X,Y) 称为随机变量X与Y的相关系数 由定义可知 C o v ( X , Y ) = C o v ( Y , X ) , C o v ( X , X ) = D ( X ) \ Cov(X,Y)=Cov(Y,X), Cov(X,X)=D(X) Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(X,X)=D(X) 对于任意两个随机变量X和Y，下式成立 D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) + 2 C o v ( X , Y ) \ D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) 将Cov(X,Y)的定义式展开，可得 C o v ( X , Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) \ Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y) 常利用这一式计算协方差
1. C o v ( a X , b Y ) = a b C o v ( X , Y ) , a , b 是 常 数 \ Cov(aX,bY)=abCov(X,Y), a,b是常数 Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数 2. C o v ( X 1 + X 2 , Y ) = C o v ( X 1 , Y ) + C o v ( X 2 , Y ) \ Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y) Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)
1 . ∣ ρ X Y ∣ ≤ 1 \ |\rho_{XY}|\leq 1 ∣ρXY∣≤1 2. ∣ ρ X Y ∣ ≤ 1 \ |\rho_{XY}|\leq 1 ∣ρXY∣≤1的充要条件是，存在常数a，b使 P { Y = a + b X } = 1 \ P\{Y=a+bX\}=1 P{Y=a+bX}=1 3.当 ρ X Y = 0 \ \rho_{XY}=0 ρXY=0时，称X和Y不相关
设X，Y时随机变量，若 E ( X k ) , k = 1 , 2 , . . . \ E(X^k),k=1,2,... E(Xk),k=1,2,... 存在，则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩 若 E { [ X − E ( X ) ] k } , k = 2 , 3 , . . . \ E\{[X-E(X)]^k\}, k=2,3,... E{[X−E(X)]k},k=2,3,... 存在，则称它为X的k阶中心距 若 E ( X k Y l ) , k , l = 1 , 2 , . . . \ E(X^kY^l), k,l=1,2,... E(XkYl),k,l=1,2,... 存在，则称它为X和Y的k+l阶混合矩 若 E { [ X − E ( X ) ] k [ Y − E ( Y ) ] l } , k , l = 1 , 2 , . . . \ E\{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l\}, k,l=1,2,... E{[X−E(X)]k[Y−E(Y)]l},k,l=1,2,... 存在，称它为X和Y的k+l阶混合中心距
设n维随机变量 ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \ (X_1,X_2,...,X_n) (X1,X2,...,Xn)的二阶混合中心距 C i j = C o v ( X i , X j ) = E { [ X i − E ( X i ) ] [ X j − E ( X j ) ] } , i , j = 1 , 2 , . . . , n \ C_{ij}=Cov(X_i,X_j)=E\{[X_i-E(X_i)][X_j-E(X_j)]\},i,j=1,2,...,n Cij=Cov(Xi,Xj)=E{[Xi−E(Xi)][Xj−E(Xj)]},i,j=1,2,...,n 都存在，则称矩阵 [ c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋮ ⋮ ⋮ c n 1 c n 2 ⋯ c n n ] \ \begin{bmatrix} c_{11} \ \ c_{12} \ \ \cdots \ \ c_{1n} \\ c_{21} \ \ c_{22} \ \ \cdots \ \ c_{2n} \\ \vdots \qquad \vdots \qquad \qquad \vdots \\ c_{n1} \ \ c_{n2} \ \ \cdots \ \ c_{nn} \\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎡c11c12⋯c1nc21c22⋯c2n⋮⋮⋮cn1cn2⋯cnn⎦⎥⎥⎥⎤ 为n维随机变量的协方差矩阵，为对称矩阵
维正态随机变量 ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \ (X_1,X_2,...,X_n) (X1,X2,...,Xn)的每一个分量 X i , i = 1 , 2 , . . . , n \ X_i,i=1,2,...,n Xi,i=1,2,...,n都是正态随机变量，反之，若 X 1 , X 2 , . . . , X n \ X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn都是正态随机变量，且相互独立，则 ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \ (X_1,X_2,...,X_n) (X1,X2,...,Xn)是n维正态随机变量 维随机变量 ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \ (X_1,X_2,...,X_n) (X1,X2,...,Xn)服从n维正态分布的充要条件是 X 1 , X 2 , . . . , X n \ X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn 的任意线性组合 l 1 X 1 + l 2 X 2 + . . . + l n X n \ l_1X_1+l_2X_2+...+l_nX_n l1X1+l2X2+...+lnXn 服从一维正态分布（其中 l 1 , . . . , l n \ l_1,...,l_n l1,...,ln不全为0） 3.若 ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \ (X_1,X_2,...,X_n) (X1,X2,...,Xn)服从n维正态分布，设 Y 1 , Y 2 , . . . , Y k \ Y_1,Y_2,...,Y_k Y1,Y2,...,Yk是 X j ( j = 1 , 2 , . . . , n ) \ X_j(j=1,2,...,n) Xj(j=1,2,...,n)的线性函数，则 ( Y 1 , Y 2 , . . . , Y k ) \ (Y_1,Y_2,...,Y_k) (Y1,Y2,...,Yk)也服从多维正态分布–正态变量的线性变换不变性 4.设 ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) \ (X_1,X_2,...,X_n) (X1,X2,...,Xn)服从n维正态分布，则 X 1 , X 2 , . . . , X n \ X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn相互独立与 X 1 , X 2 , . . . , X n \ X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn两两不相关是等价的
概率论与数理统计总结报告 第9篇
关键词：概率论与数理统计；高中数学教学与高校教学衔接；教学方法
在当今信息时代，概率统计知识在科学研究、工程技术、人文社会科学以及经济生活中的作用越来越重要。随着教育部颁发的《普通高级高中数学课程标准》的实施，概率统计内容进入高中课堂。从整体上讲，高中数学的改革比较具有先进性，而大学数学相对而言具有滞后性，并且高校和高中的数学在改革过程中没有将数学内容相结合进行，因此造成了高校数学与高中数学课程内容上出现重复或者脱节现象，这就从根本上影响了数学教学效率和质量的提高.一、大学概率统计教学和高中数学教学内容的衔接问题 通过对高中数学和高等数学两者之间进行对比，大学概率与高中概率在教学内容上有许多重复之处，对于一些内容在高中教学中要求较低，比如对概率的概念以及频率与概率的区别等方面，高中数学教学中就没有严格的要求，也没有要求学生掌握比较严密的公理化定义，容易让学生对概念理解不清。大学统计与高中数学教学内容的对比分析不难看出，两者在教学内容上有很多相似之处，大学数学统计教学内容反映到高中，更多的是偏向于计算技巧的训练，而大学教学在涉及统计教学内容时，比较要注重数学思想的挖掘及数学方法的应用.高中教材统计学的教学要求比较侧重于实际运用，对相关的理论的了解和掌握程度较低，因此，对大学生的统计部分的教学体系基本上没有影响，两者之间的衔接方面存在着一定的不足.二、实现大学概率统计教学与高中数学教学内容衔接的方式 1.课程内容的衔接 大学数学概率统计教学内容是在高中知识基础上的提高和扩充，其显著特点是知识量增大、理论性增强、系统性增强、综合性增强.学生在高中初步、直观地学习了概率统计的基本知识，而大学将对有关知识进行理论化、系统化，合理地编制教材，并且进行一些研究性学习，以实现两者之间更好的衔接.2.学习方法的衔接 由于高中的学习密度和作业量大，简单的死记硬背的方法和被动的学习态度都会使学习出现僵局，必须使学生意识到并调整自己的学习方法的必要性与紧迫性.例如，让学生了解大学所学习的概率统计知识中随机现象及其统计规律性以及全概率公式与贝叶斯公式等，有助于学生对概率统计知识的更好理解，从而实现了大学概率统计知识与高中数学教学内容的衔接.比如高中在古典概型问题的讲解时比较细，题目难度也比较大，因此在大学时就不需要在古典概型上花太多的时间，以有效提高学习时间的利用率，从而使学习效率大大提高.如例题：储蓄卡的密码一般由6位数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡的密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？在该例题的解析中，可以运用高中数学中所学的基本事件的特点以及结合高等数学中古典概型的有限性和等可能性的两个特征，随机试一个密码，相当于作一次随机试验.所有的六位密码（基本事件）共有1000000种.3.教学方法的衔接高中与大学的数学教学方法均以讲解法为主，但高中教学要对概率统计知识进行详细的讲解，然后总结题型，归纳方法方式，提高教学知识的系统性与网络化.大一应承接高中教学对解题方法有总结归纳，增加练习课次数和题量训练量，先让学生掌握通性通法，使刚入学的学生度过适应期.例如在概率统计内容的概念学习中，可以对易混淆的概念（定理）对比学习；对公式、定理各字母的含义、适用范围、特例等作补充说明等来帮助学习，在老师的指导下使其成为学生自身的学习方法和习惯.例如在例题“在1000个有机会中奖的号码中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为××的号码为中奖号码，应该采取什么样的抽样方法”中，该种类型的例题就可以通过高中数学中系统抽样的方式和高等数学中间隔距离相等的抽取相结合，对例题进行解答.4.增设数理统计试验 数学课是一门实践性较强的课程，在统计与概率教学内容中，存在许多随机试验，许多规律是从试验中总结出来的.因此，在大学概率统计和高中数学教学内容衔接改革过程中，应该充分利用excel作为数据处理平台，让学生更好地进行数据的采集和处理，在计算标准差、相关系数、平方和分解等问题时能够收到事半功倍的效果，并且还有利于培养学生的研究、概括、总结能力，巩固和加深统计和概率的知识内容，有利于学习效率的提高，从而实现大学概率统计与高中数学教学内容更好的衔接.5.高考命题与高等数学知识的衔接 数学考试大纲明确指出，数学高考命题紧密联系高等数学知识内容，已为学生进入大学学习做好准备.因此要做好高中数学和高等数学概率统计的衔接工作，就必须把高考命题作为重要考虑内容，实现与高等数学的紧密衔接，主要方式为在高考命题中直接出现高等数学符号、概念，或以高等数学的概念、定理作为依托融于初等数学知识中.此类题目的设计要基于高中数学概率统计基础上，又要涉及高等数学概率统计知识，其解决方法还是高中数学知识，较易突破.在高考命题中融入高等数学内容，能全方位、宽角度、多层次地考查学生基本的数学素养，以便于实现高中数学与高等数学的紧密衔接. 总之，随着新课程改革，大学概率统计教学与高中数学教学内容的衔接方面还存在着一定的缺陷和不足，作为一名高校教师，应不断充实教育理论知识，优化教学内容，拓展所教专业的专业知识，寻求实现两者之间更好衔接的方法和措施，才能从根本上提高数学教学的效率和质量，从而进一步推动数学教育改革的发展.
参考文献：
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[3]潘建辉.大学数学和新课标下高中数学的脱节问题与衔接研究[J].数学教育学报，2008，17（2）：67-69.
概率论与数理统计总结报告 第10篇
【关键词】概率论与数理统计；教学方法；案例教学；数学软件
【中图分类号】 【文献标识码】A
概率论与数理统计是公共数学课中重要的一门课程，它是研究随机现象客观规律的基础学科，其理论方法在自然科学、金融保险 、医学以及人文科学中都有着广泛重要的应用，这门基础课程也是学习后续专业课的基础.该课程内容具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实际应用性等特点，概率论与数理统计既为解决实际问题提供了重要方法，同时是学习其他许多课程不可或缺的工具.但该课程大量的定理公式、抽象的结论和庞大的计算量严重影响了学生学习的积极性，从而导致很多学生对这门课程失去兴趣，影响后续课程的学习.本文根据概率论与数理统计多年的教学经验，结合本科生实际学习问题对概率统计的教学改革做了以下探讨：
一、因材施教，选取合适教材
教材是知识的载体，是教师和学生交流的重要工具，也是学生进行学习和自我学习的重要依据.因此教材以及教材里内容的选取至关重要，适宜的教材和适当的内容对教学效果有着直接影响.好的教材会起到事半功倍的效果，会使学生更迅速、更准确地掌握必备的知识.
在选取教材和教学内容时，注意难易程度，避免传统教学中只注重理论的讲解，而忽略了该理论的实际应用.并且对于专业较少应用的有些理论和计算可以有意识淡化，突出教学重点，对教学内容合理设置，简单明了，从而达到良好的教学效果.
二、激发兴趣，培养能力，教学方法改革
概率论与数理统计是理论研究和实践应用相结合的一门课程，它需要一定的数学基础，它是高等数学在随机现象中的应用，这门课程具有一定的抽象性、严密的逻辑性等特点，课程中有大量的定理、定义、公式需要牢记.因此导致很多学生学习概率论与数理统计这门课程只是为了完成任务，突击复习，死记硬背，通过考试拿到学分.
1.循序渐进，温故知新
在学习概率论与数理统计之前，学生已经具备了一定的数学知识，因此可以从复习这些数学知识入手来引入概率和数理统计思想.比如先来复习集合、函数的相关内容，让学生从熟悉的知识入手，自然地过渡到概率论与数理统计的学习中来.对于任何一门学科，了解它的起源、发展和应用对于学习和掌握该课程的思想方法及运用都有着深刻的意义.
2.实际案例讲解，学有所用
案例教学是以实际生活问题为背景，结合学生的理论知识，对实际问题进行分析，抽象出其中所蕴含的数学模型，进而通过数学方法给出问题的解决方案.
3.总结规律，加深记忆
任何一门数学学科的学习都离不开定理、定义、公式，它们是对理论的抽象，只有熟练地掌握这些内容才能做到学有所用.概率论与数理统计的学习中更是有大量的定理、公式需要记住.在教学过程中，常常会发现一些学生一边做题目，一边翻课本查找公式，这大大浪费了学生的时间，而且让学生觉得很难记住这些内容，从而渐渐失去学习动力.教师可以通过图表记忆把相关联的公式和定理用图表的形式总结出来，让学生记住总体的框架，对有些相关的公式可以通过推导得到，而不需要死记硬背.
4.数学建模，融入课堂教学
概率论与数理统计课程的理论与实践应用性强，有很多与课程内容相关的实际问题可以通过数学建模用概率论与数理统计的思想去解决，例如，传染病问题、人口增长问题等等.数学建模可以让学生了解如何应用所学的知识解决实际问题，培养学生的创造力和想象力.在教学过程中教师可以以实际问题出发建立课程建模问题案例库，让学生分组完成这些问题得出结论，然后引导学生从案例问题出发将课程内容与数学建模相结合，通过与学生共同讨论，激发学生动手能力，达到良好的教学效果.
5.多媒体教学，激发学生兴趣
传统的教学方式是教师在黑板上写定义、定理、例题、 做计算等，由于课时有限，板书费时费力，完全应用板书讲解，学生会觉得很仓促，难以理解，慢慢失去兴趣，影响教学效果.而通过多媒体的演示，把定理结果、各种复杂的图形，某些特征函数独特的性质，形象直观的展示给学生，使学生一目了然、记忆深刻.为了准确主动的记住教学内容，可以在学习教材中的理论知识同时，借助Mathematica、matlab等数学软件通过多媒体设备把书本上的这些定理、公式形象地表述出来，通过图像来理解这些定理、定义.
概率论与数理统计总结报告 第11篇
一、在高中概率统计教学过程中培养学生数学思维的设计与基本要求
在高中数学的概率统计学习过程中，学生普遍出现了这样的问题：学生对概率统计中的计算方式、公式等都非常熟悉，记忆也是不在话下，但是对于这些计算公式的原理、原理运用及公式本身的运用效果和运用程度却极低。对于公式的运用主要还是停留在浅显的数字计算上，他们很难把握公式的运用范围，也不会用公式的原理解决问题，简单概括就是学生还无法形成强烈的数学思维，更没有形成专业的统计学思维模式和思考方式。因此，老师在进行讲学的时候就不能够照搬书本，而是要对书本中的内容、公式等进行原理分析，深究其来源和规律，并教授学生如何灵活运用这些公式。首先，要求老师在教学方式上必须做出创新和改变。高中的概率统计学教学是培养学生数学思维能力的重要方式，但常常是因为教学方式运用不得当而影响了它的作用发挥，所以，老师必须致力于探究新的教学方式，多举并措，将各种优秀的教学方式集中在一起，并进行融合；其次，在教学中时刻不忘培养学生的数学思维，养成进行思维培养性教学的习惯，可以采用主导式教学、实践教学及情景教学等模式开展课堂教学。
二、加大教学中学生辩证观的培养力度
在培养学生数学思维的过程中应当将培养学生的辩证思维作为其中的一个重点。从哲学的角度上可以认为任何事物都不是独立存在于世界的，它的出现必然与存在于世上的另一个事物有一定的相互关系，而对于数学中的概率统计尤其如此：从概率统计的教学讲，几乎每一个包含在其中的元素都存在着紧密的相互关系，它们或是相互制约、或是相互依存、或是相互转换……高中的概率统计学习中有这样两个概念：第一，某个事件的发生是不可预见的，或是不确定的；第二，某个事件的规律性表现出了其必要性。例如：抛掷一枚硬币，检验出现正面和反面的偶然性和不必然性。在首次的派之中，并不能确定出现正面还是反面，而经历多次的抛掷实验之后，我们发现硬币出现正面与反面会受到抛掷方法、空气流动及重力加速度等因素的影响，所以说，该事件属于偶然事件，从这个结果可以看出，偶然性与必然性之间存在辩证关系，因此在进行概率统计教学时，老师可以套用同样的思维模式，从解释事物存在的全面规律与本质出发，培养学生的辩证思维，教授他们如何用数学思维解释客观存在的事物。
三、培养学生的归纳观以培养学生数学思维
从观察推测局部资料的统计特征判断全局的系统特征与规律是概率统计学习的基本思维，这需要学生具备强大的归纳观，也就说学生必须学会如何归纳资料中的特定形态，将其总结为一条具有代表性的规律，这也是数学思维中的重要组成部分。在实际教学中，老师应当让学生自主从统计图表等资料中探析其中的规律，对给出的资料进行深入解读，而后对学生归纳出的信息进行补充和评价。
四、从培养学生统一观出发培养其数学思维
数学的学习尤其讲究数形结合，“数”与“形”是两个不同的概念，分别指数学中的数学符号与图形、表格。概率统计的学习及习作题目所给出的资料几乎都包含了数与形，这是用于培养学生统一观的很好的机会。在实际教学中，教师需要教授学生如何将题目中的数学符号与图形、表格等结合起来参考，并且在实际的课题讲解中，要注意全面运用题目中的数与形。
五、结语
概率论与数理统计总结报告 第12篇
1、为了对总体进行推断，需要对样本的n个观测值进行加工处理，把样本中所包含的有关信息集中起来。针对不同的问题构造不同的函数，再利用这些函数的取值对总体进行推断。这类函数就是统计量。
2、设是来自总体X的一组样本，为一实值函数，且不含任何未知参数，则称为一统计量。
3、统计量仍然为随机变量，当样本的观测值给定时，统计量的取值就完全确定了。就是的观测值。
4、常用统计量：
（1）样本均值
（2）样本方差
（3）样本标准差
（4）样本k阶原点矩
（5）样本k阶中心矩
（6）顺序统计量将样本观测值按由小到大的次序重新排列为，定义，由此得到的统计量称为样本的顺序统计量。称为最小顺序统计量，称为最大顺序统计量。
对于二维总体(X,Y)，常用的统计量有
（1）样本协方差
（2）样本相关系数
其中
5、三大分布
统计量的分布称为抽样分布。
（1）分布
设随机变量相互独立，并且,则称随机变量为服从自由度为n的分布，记为，其密度函数为
分布可加性： 若，则
（2）分布(学生分布)
设随机变量X与Y相互独立，并且，则称随机变量为服从自由度为n的t分布，记为t(n)，其密度函数为
分布的密度函数是偶函数，当自由度n趋于无穷时，t分布将趋近于标准正态分布N(0,1)。一般当时，t分布可以近似看作标准正态分布。
（3）F分布
设随机变量X和Y相互独立，并且，则称随机变量为服从自由度为(m,n)的F分布，记为F(m,n)，其中m,n分别称为第一、二自由度。F分布的密度函数为
由定义知，若，则
（4）上分位数(点)
设随机变量X的分布函数为，满足等式
的实数称为的上分位数(点)。类似地，可定义下分位数(点)。
1）当n充分大时(即可)，近似地有
2）由分布密度函数图形的对称性及上分位数的定义有
此外，当时，有
3）利用上分位数的定义不难得到
6、顺序统计量的分布
设总体X具有分布函数，其密度函数为，是来自总体X的一组样本，则
（1）的密度函数为
（2）的密度函数为
（3）的联合分布函数为
概率论与数理统计总结报告 第13篇
一、大学概率统计教学和高中数学教学内容的衔接问题
通过对高中数学和高等数学两者之间进行对比，大学概率与高中概率在教学内容上有许多重复之处，对于一些内容在高中教学中要求较低，比如对概率的概念以及频率与概率的区别等方面，高中数学教学中就没有严格的要求，也没有要求学生掌握比较严密的公理化定义.大学统计与高中数学教学内容的对比分析不难看出，两者在教学内容上有很多相似之处，大学数学统计教学内容反映到高中，更多的是偏向于计算技巧的训练，而大学教学在涉及统计教学内容时，比较要注重数学思想的挖掘及数学方法的应用.高中教材统计学的教学要求比较侧重于实际运用，对相关的理论的了解和掌握程度较低，因此，对大学生的统计部分的教学体系基本上没有影响，两者之间的衔接方面存在着一定的不足.
二、实现大学概率统计教学与高中数学教学内容衔接的方式
1.课程内容的衔接
大学数学概率统计教学内容是在高中知识基础上的提高和扩充，其显著特点是知识量增大、理论性增强、系统性增强、综合性增强.我们在高中初步、直观地学习了概率统计的基本知识，在大学我们将对有关知识进行理论化、系统化，合理地编制教材，并且进行一些研究性学习，以实现两者之间更好的衔接.
2.学习方法的衔接
由于高中的学习密度和作业量大，简单的死记硬背的方法和被动的学习态度都会使学习出现僵局，必须使学生意识到调整自己的学习方法的必要性与紧迫性.例如，让学生了解大学所学习的概率统计知识中随机现象及其统计规律性以及全概率公式与贝叶斯公式等，有助于学生对概率统计知识的更好理解，从而实现了大学概率统计知识与高中数学教学内容的衔接.比如高中在古典概型问题的讲解时比较细，题目难度也比较大，因此在大学时就不需要在古典概型上花太多的时间，以有效提高学习时间的利用率，从而使学习效率大大提高.如例题：储蓄卡的密码一般由6位数字组成，每个数字可以是0，1，2， …，9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡的密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？在该例题的解析中，可以运用高中数学中所学的基本事件的特点以及结合高等数学中古典概型的有限性和等可能性的两个特征，随机试一个密码，相当于作一次随机试验.所有的六位密码（基本事件）共有1000000种.
3.教学方法的衔接高中与大学的数学教学方法均以讲解法为主，但高中教学要对概率统计知识进行详细的讲解，然后总结题型，归纳方法方式，提高教学知识的系统性与网络化.大一应承接高中教学对解题方法有总结归纳，增加练习课次数和题量训练量，先让学生掌握通性通法，使刚入学的学生度过适应期.例如在概率统计内容的概念学习中，可以对易混淆的概念（定理）对比学习；对公式、定理各字母的含义、适用范围、特例等作补充说明等来帮助学习，在老师的指导下使其成为学生自身的学习方法和习惯.例如在例题“在1000个有机会中奖的号码中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为××的号码为中奖号码，应该采取什么样的抽样方法”中，该种类型的例题就可以通过高中数学中系统抽样的方式和高等数学中间隔距离相等的抽取相结合，对例题进行解答.
4.增设数理统计试验
数学课是一门实践性较强的课程，在统计与概率教学内容中，存在许多随机试验，许多规律是从试验中总结出来的.因此，在大学概率统计和高中数学教学内容衔接改革过程中，应该充分利用Excel作为数据处理平台，让学生更好地进行数据的采集和处理，在计算标准差、相关系数、平方和分解等问题时能够收到事半功倍的效果，并且还有利于培养学生的研究、概括、总结能力，巩固和加深统计和概率的知识内容，有利于学习效率的提高，从而实现大学概率统计与高中数学教学内容更好的衔接.
5.高考命题与高等数学知识的衔接
数学考试大纲明确指出，数学高考命题紧密联系高等数学知识内容，已为学生进入大学学习做好准备.因此要做好高中数学和高等数学概率统计的衔接工作，就必须把高考命题作为重要考虑内容，实现与高等数学的紧密衔接，主要方式为在高考命题中直接出现高等数学符号、概念，或以高等数学的概念、定理作为依托融于初等数学知识中.此类题目的设计要基于高中数学概率统计基础上，又要涉及高等数学概率统计知识，其解决方法还是高中数学知识，较易突破.在高考命题中融入高等数学内容，能全方位、宽角度、多层次地考查学生基本的数学素养，以便于实现高中数学与高等数学的紧密衔接.
概率论与数理统计总结报告 第14篇
1.随机变量取值的波动程度，即随机变量所取的值与它的数学期望的偏离程度。
2.设X为随机变量，如果存在，则称之为X的方差，记为，即
对于离散型随机变量，若，则
对于连续型随机变量，若X的密度函数为，则
称为标准差。
在计算方差时，常用到
两点分布的方差：
二项分布的方差：
泊松分布的方差：
均匀分布的方差：
指数分布的方差：
正态分布的方差：
3.方差的性质：
（1）常量的方差等于零，即
（2）设C为常量，
（3）设X，Y是相互独立的随机变量，则
该性质可以推广到有限个相互独立的随机变量代数和的方差，等于它们的方差之和。
概率论与数理统计总结报告 第15篇
概率论与数理统计案例教学方法的应用中，案例的正确选择非常重要，选择合适的案例可以让学生能更好的进入数学知识点的学习中，身临其境的体会概率论与数理统计带来的学习乐趣，使课堂气氛变得活跃，从而提高教学质量，同时也增强了学生学习的主动性。例如：选择概率和彩票的案例进行教学，教师可以适当对彩票的相关知识进行拓展；然后将概率和彩票的中奖率联系起来，提出概率的运算思路，在其中添加统计的知识点，让学生大胆的提出问题；最后，对概率和统计进行归纳，对概率和彩票中奖率的关系进行解答，增强学生的学习兴趣，培养学生的独立思考能力，从而达到案例教学的目的，促进教学质量的不断提高。因此，正确选择案例，活跃课堂气氛，在教师的带动作用下，数学教学可以变得很轻松愉悦，概率论与数理统计的教学质量可以得到快速提高，从而促进学生综合素质能力的全面发展。
二、开放学生思维，明确教学目的
三、有效组织教学，提高综合能力
在数学学习是整个过程中，打好基础是非重要的，因此，在概率论与数理统计的教学中运用案例教学，教师要有效组织教学，促进学生综合能力的提高。针对概率论与数理统计的难点和易点，循序渐进的提升难度，让学生熟练掌握每个知识点，培养学生敏捷的数学思维能力，不断开阔学生的视野，使学生的概率论与数理统计分析能力变得更强，从而达到提高教学质量的目的。例如：针对篮球投篮问题，根据球队人数的变化来计算投篮的概率，从最简单的计算开始，随着人数的变化，计算复杂程度也变得越来越高。这就是一个概率论与数理统计知识点逐渐加深的案例，通过这个案例教学，学生的思维能力可以不断增强，综合能力也会得到不断提高。
四、课后教学总结，不断改革创新
概率论与数理统计的教学中，案例教学方法应用的课后总结，是教师对课堂教学不足的完善，可以有效保证案例教学的教学质量，不断创新教学方法和模式，同时促进教师自我的不断提升。课后总结，分为学生的总结和教师的总结，学生通过总结，可以对案例教学进行仔细的分析，培养学生处理问题和解决问题的思路，提升学生实践动手能力；教师总结时，对重点知识进行再度印象加深，促进学生不断探索和创新，从而促进教师教学的不断创新。
五、结束语
概率论与数理统计总结报告 第16篇
设随机试验的样本空间为 S = { e } , X = X ( e ) \ S=\{e\}, X=X(e) S={e},X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称 X = X ( e ) \ X=X(e) X=X(e)为随机变量
P { x = k } = p k ( 1 − p ) 1 − k , k = 0 , 1 ( 0 < p < 1 ) \ P\{x=k\}=p^k(1-p)^{1-k}, k=0,1(0
P{x=k}=pk(1−p)1−k,k=0,1(0<p<1)
设试验E只有两个可能结果： A 及 A ˉ \ A及\bar{A} A及Aˉ，则称E为伯努利试验，设 P ( A ) = p \ P(A)=p P(A)=p，此时 P ( A ˉ ) = 1 − p \ P(\bar{A})=1-p P(Aˉ)=1−p，将E独立重复地进行n次，则称这一串重复独立试验为n重伯努利试验 在n次试验中，A发生k次的概率为 P { X = k } = ( n k ) p k q n − k , k = 0 , 1 , 2 , . . . , n , q = 1 − p \ P\{X=k\}=\dbinom{n}{k}p^kq^{n-k}, k=0, 1, 2,...,n,q=1-p P{X=k}=(kn)pkqn−k,k=0,1,2,...,n,q=1−p其中， ( n k ) = n ( n − 1 ) . . . ( n − k + 1 ) k ! \dbinom{n}{k}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!} (kn)=k!n(n−1)...(n−k+1) 当n=1时，二项分布就是（0-1）分布
设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,而取各个值的概率为 P { X = k } = λ k e − λ k ! , k = 0 , 1 , 2 , . . . \ P\{X=k\}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}, k=0,1,2,... P{X=k}=k!λke−λ,k=0,1,2,...其中 λ > 0 \lambda>0 λ>0是常数，则称X服从参数为 λ \lambda λ的泊松分布，记 X ∼ π ( λ ) \ X\sim\pi(\lambda) X∼π(λ) 泊松定理 lim n → ∞ ( n k ) p n k ( 1 − p n ) n − k = λ k e − λ k ! \lim_{n\rightarrow\infty}\dbinom{n}{k}p^k_n(1-p_n)^{n-k}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} n→∞lim(kn)pnk(1−pn)n−k=k!λke−λ
设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F ( x ) = P { X ≤ x } , − ∞ < x < ∞ \ F(x)=P\{X\leq x\}, -\infty
若连续型随机变量X具有概率密度 f ( x ) = { 1 b − a , a < x < b 0 , 其 他 \ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}, a
f ( x ) = { 1 θ e − x / θ , x > 0 0 , 其 他 \ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}, x>0 \\ 0, 其他 \end{cases} f(x)={θ1e−x/θ,x>00,其他 其中 θ > 0 \theta>0 θ>0为常数 服从指数分布的随机变量X具有无记忆性：对于任意s，t>0，有 P { X > s + t ∣ X > s } = P { X > t } \ P\{X>s+t|X>s\}=P\{X>t\} P{X>s+t∣X>s}=P{X>t}
f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 , − ∞ < x < ∞ \ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, -\infty
设随机变量X具有概率密度 f X ( x ) , − ∞ < x < ∞ \ f_X(x), -\infty
概率论与数理统计总结报告 第17篇
实际上，统计方法在应用于具体问题的时候，需要许多环节，其中最重要的是需要学生动手来推算该具体问题中涉及到的分布密度――特别是联合密度、边际密度与条件密度，演算方法应用中的变量变换及相应的分布密度，计算变量的数字特征，这些都是统计方法应用的基本环节，如果计算推演这一环节没有经过扎实地训练，那么在这一环节上经常会出错，统计结论就可能是错的。
上面的错误归结起来并不是同学的统计学没有学好，而是他(她)的概率论基本训练没有到位，因此有必要突出强调应用统计类课程所需要的重要知识点，在讲授概率基础课程时候加以特别强化训练。最重要的知识点主要有：
1.列出基于已知分布密度推导各种特殊数据类型的广义概率密度的相应方法。在实践中最常用的数据类型主要有：一元连续型、多元连续型(常见且基本)，一元离散型、多元离散型(常见且基本)，同时具有离散型与连续型分量的多元数据(常见但不基本)，右删失数据(工程与生物领域常见但不基本)、左截断数据(不常用又不基本)，具有缺失分量的多元数据(常见但不基本)，都可以给出相应的方法求广义概率密度。
2.概率基本公式应用与条件分布的演算。教会学生正确地写出三大概率基本公式所需的各个要素，特别是关于条件概率及其密度的演算。重中之重有两处：一是会求离散变量关于连续变量的广义条件密度(十分常用)，二是会利用广义条件密度及广义边际密度求离散变量与连续变量的广义联合密度(十分常用)。
3.计算条件期望、条件方差等条件化的数字特征(包括期望、方差、协方差、矩母函数、特征函数、概率母函数等)，以及数值特征之间的相互关系。这些计算都是以计算条件分布为基础的，要让学生知道条件分布密度也可以对应到类似于数学期望等数字特征，在该场合下即被叫做条件数字特征；要让同学们知道这些数学期望、方差等与绝对数字特征的区别，不要在计算时混淆。
概率论与数理统计总结报告 第18篇
1.切比雪夫不等式：设随机变量X的数学期望E(X)与方差D(X)存在，则对任意的，有
根据对立事件，该不等式也可以写做
由不等式可以看出，当误差取定时，随着方差D(X)减小，X围绕E(X)取值的概率增大。反之，随着方差D(X)的增大，X围绕E(X)取值的概率减少。
2.大量观测值的算术平均值也具有稳定性，即在相同条件下随着观测次数的增多，观测值的算术平均值逐渐稳定于某一常数附近，这一数值就是观测值的数学期望。概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的定理统称为大数定理。
3.切比雪夫大数定律：设随机变量相互独立，且具有相同的数学期望和方差，即，则对于任意的，都有
或者
该定理说明，在试验次数无限增多的情况下，算术平均值与接近的可能性无限变大，也称为
依概率收敛于 。
4.辛钦大数定律：
设随机变量相互独立同分布，且具有相同的数学期望，即，则对于任意的，都有
或者
5.伯努利大数定律：设是n次独立重复试验中事件A发生的次数，而p是事件A在每次试验中发生的概率，对于任意给的正数，都有
伯努利大数定律从理论上说明了任一随机事件的频率具有稳定性。